Информация о задаче

Задача 78188

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Ребусы	]
	[	Арифметика. Устный счет и т.п.	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

Решение

Запишем число 999999999 в виде 1 000 000 000 - 1. Обозначим искомое число через A и пусть $\overline{A}$ — десятичная запись числа A. Очевидно, 999 999 999^.A = 1 000 000 000 A - A = $\overline{A000000000}$ - A. Это число и должно состоять из одних единиц. Итак,

1 000 000 000 A - A = 111...11,

откуда

A = 1000 000 000A - 111...11

или

A = $\displaystyle \overline{A000\,000\,000}$ - 11...1.(() * )

Так как последние цифры уменьшаемого известны, то мы можем производить вычитание (`` в столбик'' ), выясняя тем самым последние знаки самого числа A, стоящего в левой части равенства (*). Приписывая эти знаки слева к нулям в правой части, мы сможем продолжить вычитание, выясняя новые знаки, и так далее, пока это возможно (т. е. пока вновь полученные знаки числа A не станут равными 1). Покажем, как происходит этот процесс, на примере более короткого числа 99:

99A = 100A - A = 111...11,

так что

A = 100A - 111...11 = $\displaystyle \overline{A00}$ - 111...1.

Вот последовательное вычисление знаков:
$\begin{picture}(300,40) \put(80,25){\llap{. . . 0 0}} \put(80,15){\llap{. . 1 ... ...\,,} \put(210,22){\line(1,0){7}} \put(285,2){\llap{6 6 7 7 8 9}} \end{picture}$
и так далее. В нашем случае, как нетрудно убедиться, получится число

A₁ = $\displaystyle \underbrace{11\dots 1}_{{\rm 9 цифр}}^{}\,$ $\displaystyle \underbrace{22\dots 2}_{{\rm 9 цифр}}^{}\,$ ... $\displaystyle \underbrace{77\dots 7}_{{\rm 9 цифр}}^{}\,$ $\displaystyle \underbrace{88\dots 8}_{{\rm 8 цифр}}^{}\,$ 9.

Полученное число A₁, очевидно, наименьшее, обладающее требуемым свойством, так как каждый знак числа A₁ с необходимостью получался из последующих. Но это число — не единственное, так как наш процесс можно продолжить, дописав слева от A₁ девять нулей ( 111...11 - 111...11 = 000...00) и возобновив вычитание. Ясно, что любое число A_n с требуемым свойством имеет вид:

A_n = A₁ $\displaystyle \underbrace{000\dots 00}_{{\rm 9 цифр}}^{}\,$ A₁ $\displaystyle \underbrace{000\dots 00}_{{\rm 9 цифр}}^{}\,$ A₁... 0 A₁ $\displaystyle \underbrace{000\dots 00}_{{\rm 9 цифр}}^{}\,$ A₁.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	3