Задача 78178

Темы:    [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Решение

1 = (a₁ + ... + a₁₉₅₉)¹⁰⁰⁰.  Раскрыв скобки, получим сумму всех возможных произведений a_i "длины" 1000. Каждое рассматриваемое в задаче произведение входит в эту сумму, но произведения, отличающиеся порядком сомножителей, входят в эту сумму несколько раз. Кроме того, в сумму входят и другие слагаемые, например,    Все слагаемые положительны, значит, искомая сумма меньше 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1