Задача 78170

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Доказать, что число 2²¹⁹⁵⁹ – 1 делится на 3.

Решение

Ясно, что  2²¹⁹⁵⁹ − 1 = 2^{2 . 21958} − 1 = 4²¹⁹⁵⁸ − 1.  Число  4ⁿ − 1 = (4 − 1)(4ⁿ⁻¹ + 4ⁿ⁻² + ... + 4 + 1)  делится на  4 − 1 = 3  при любом n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	22
Год	1959
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	2