ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78119
Темы:    [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.

Решение

Пусть α ≤ β ≤ γ — углы данного треугольника. По условию этот треугольник неравносторонний, поэтому γ - α > 0. Как видно из решения задачи 78113, углы второго полученного треугольника равны $ {\frac{\beta+\gamma}{2}}$ ≥ $ {\frac{\alpha+\gamma}{2}}$ ≥ $ {\frac{\alpha+\beta}{2}}$. Для него разность между наибольшим и наименьшим углом равна $ {\frac{\gamma-\alpha}{2}}$. Аналогично для n-го треугольника разность между наибольшим и наименьшим углом равна $ {\frac{\gamma-\alpha}{2^n}}$. При разных n эти величины разные, а у подобных треугольников они должны быть одинаковыми.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .