ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78103
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка M – середина диагонали AC, точка N – середина диагонали BD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M' и N'. Доказать, что если  MM' = NN',  то  BC || AD.


Решение

  Предположим, что прямые AD и BC не параллельны. Тогда MN не параллельна BC (в противном случае MN содержит средние линии треугольников BCD и ABD, то есть BC || AD).
  Пусть M'', K, N'' – середины сторон AB, BC, CD соответственно. Как видно из сказанного выше,  M' ≠ M''  и  N' ≠ N''.  Ясно, что   = ½ =   и   = .  Поэтому  M'M'' || N'N''.  Следовательно,  KM || AB || CD || KN,  то есть  M = N.  Противоречие (из условия ясно, что эти точки различны).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .