ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78097
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

От A до B  999 км. Вдоль дороги стоят километровые столбы, на которых написаны расстояния до A и до B, , ..., .
Сколько среди них таких, на которых имеются только две различные цифры?


Решение

  Если число слева составлено из цифр a, b, c, то число слева составлено из цифр  a1 = 9 – a,  b1 = 9 – b  и  c1 = 9 – c.  Если  a = b = c,  то требуемое условие выполняется. Таких столбов ровно 10.
  Пусть теперь среди цифр a, b, c есть ровно две различных. Среди цифр a1, b1, c1 будут в точности те же самые две цифры тогда и только тогда, когда эти две цифры в сумме дают 9. Таких пар цифр 5:  (0, 9),  (1, 8),  (2, 7),   (3, 6)  и  (4, 5).  Трёхзначных чисел, записывающихся двумя данными цифрами ровно шесть: три из них записываются двумя цифрами a и одной цифрой b, а ещё три – одной цифрой a и двумя цифрами b. Так мы получаем ещё  5·6 = 30  столбов.


Ответ

40 столбов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .