ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78059
Тема:    [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник A0B0C0. На его сторонах A0B0, B0C0, C0A0 взяты точки C1, A1, B1 соответственно. На сторонах A1B1, B1C1, C1A1 треугольника A1B1C1 взяты соответственно точки C2, A2, B2, и вообще, на сторонах AnBn, BnCn, CnAn, треугольника AnBnCn взяты точки Cn + 1, An + 1, Bn + 1. Известно, что

$\displaystyle {\frac{A_0B_1}{B_1C_0}}$ = $\displaystyle {\frac{B_0C_1}{C_1A_0}}$ = $\displaystyle {\frac{C_0A_1}{A_1B_0}}$ = k,$\displaystyle {\frac{A_1B_2}{B_2C_1}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1C_2}{C_2A_1}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1A_2}{A_2B_1}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k^2}}$
и вообще,

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A0A1, B0B1, C0C1, содержится в треугольнике AnBnCn при любом n.

Решение

То, что треугольник ABC содержится в треугольнике A1B1C1, очевидно. Покажем, что точки A2, B2, C2 являются точками пересечения сторон треугольника A1B1C1 с прямыми A0A1, B0B1, C0C1. Поместим в точки A0, B0, C0 массы 1 + k3, k, k2. Центром масс этой системы является точка пересечения отрезков A0A1 и B1C1. Действительно, C1 — центр масс точек A0 и B0 с массами 1 и k, B1 — центр масс точек A0 и C0 с массами k3 и k2, A1 — центр масс точек B0 и C0 с массами k и k2. Таким образом, если A' — точка пересечения отрезков A0A1 и B1C1, то B1A' : A'C1 = (1 + k) : (k2 + k3) = 1 : k2, поэтому A' = A2. Для точек B2 и C2 доказательство аналогично. Доказанный результат означает следующее. Для треугольника A1B1C1 мы делаем то же самое, что и для треугольника A0B0C0, лишь с заменой коэффициента k на 1/k2; треугольник ABC при этом остаётся тем же самым. Полученный треугольник A2B2C2 снова содержит треугольник ABC и т.д.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 18
Год 1955
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .