ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78057
Тема:    [ Тетраэдр (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости P стоит прямой круговой конус. Радиус основания r, высота — h. На расстоянии H от плоскости и l от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в плоскости P и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда H > h. Пусть S — вершина конуса, S' — точка пересечения плоскости основания конуса с прямой, проходящей через точку S и источник света. Покажем, что тень от конуса представляет собой фигуру, заштрихованную на рис. (а). Действительно, если A — точка основания конуса, то тень отрезка SA — это отрезок S'A. Аналогичные рассуждения показывают, что если H = h, то тень — это множество, изображённое на рис. (б), а если H < h, то то тень — это множество, изображённое на рис. (в). Несложные вычисления с подобными треугольниками показывают, что расстояние от точки S' до центра конуса равно $ \left\vert\vphantom{\frac{h}{H-h}}\right.$$ {\frac{h}{H-h}}$$ \left.\vphantom{\frac{h}{H-h}}\right\vert$ = s. Пусть cos$ \alpha$ = r/R и cos$ \beta$ = r/S. При H > h угловая величина неосвещённой дуги равна $ \beta$ - $ \alpha$; при H = h она равна $ {\frac{\pi}{2}}$ - $ \alpha$; при H < h она равна $ \pi$ - ($ \alpha$ + $ \beta$).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 18
Год 1955
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .