ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78050
Тема:    [ Неравенство треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Неравенство

Aa(Bb + Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(ABc2 + BCa2 + CAb2),

где a > 0, b > 0, c > 0 — данные числа, выполняется для всех A > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник?

Решение

Ответ: да, можно. Положим A = B = 1, C = $ \varepsilon$. Тогда

a(b + $\displaystyle \varepsilon$c) + b($\displaystyle \varepsilon$c + a) + $\displaystyle \varepsilon$c(a + b) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(c2 + $\displaystyle \varepsilon$a2 + $\displaystyle \varepsilon$b2).(1)

Поэтому должно выполняться неравенство 2ab$ \ge$$ {\frac{1}{2}}$c2, поскольку иначе неравенство (1) не выполнялось бы при малых $ \varepsilon$. Значит, c2$ \le$4ab$ \le$(a + b)2. Числа a, b, c положительны, поэтому c$ \le$a + b. Неравенства a$ \le$b + c и b$ \le$a + c доказываются аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 18
Год 1955
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .