Задача 77981

Темы:    [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Подсчет двумя способами ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Тысяча точек является вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого расположено ещё пятьсот точек так, что никакие три из пятисот не лежат на одной прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треугольники таким образом, что все указанные 1500 точек являются вершинами треугольников и эти треугольники не имеют никаких других вершин. Сколько получится треугольников при таком разрезании?

Решение

Ответ: 1998. Сумма всех углов полученных треугольников равна сумме углов 1000-угольника и ещё 500 углов 360^o, соответствующих 500 внутренним точкам. Значит, сумма углов треугольников равна 998 ^. 180^o + 500 ^. 360^o = (998 + 2 ^. 500)180^o. Поэтому количество полученных треугольников равно 998 + 2 ^. 500 = 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	4