Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

   Решение

Тема:    [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 3- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что

если | x| < 1 и | y| < 1.

Решение

По условию 1 - x > 0, 1 + x > 0, 1 - y > 0 и 1 + y > 0. Поэтому (1 - x)(1 + y) > 0 и (1 + x)(1 - y) > 0, т.е. 1 - x + y - xy > 0 и 1 + x - y - xy > 0. Следовательно, 1 - xy > x - y и 1 - xy > y - x. Кроме того, 1 - xy = | 1 - xy|.

Источники и прецеденты использования