Задача 77944

Тема:    [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

Решение

Каждый член геометрической прогрессии представляется в виде aqⁿ, n 0. Случай, когда q = 1, очевиден, поэтому будем считать, что q ≠ 1. Предположим, что существуют различные целые неотрицательные числа k₁, k₂, ..., k_{m + 1} (m2), для которых

aq^k₁ + aq^k₂ + ... + aq^k_m = aq^{k_{m + 1}}. (1)

Пусть l₁ < l₂ < ... < l_{m + 1} — это числа k₁, k₂, ..., k_{m + 1}, записанные в порядке возрастания. Перепишем равенство (1) в виде

aq^l₁ = ±aq^l₂±...±aq^{l_{m + 1}}.

После сокращения на aq^l₁ получим

1 = q^{l₂ - l₁}(1 + q^{l₃ - l₂} + ... + q^{l_{m + 1} - l₂}).

Левая часть равенства равна 1, а правая часть делится на целое число q^{l₂ - l₁}, абсолютная величина которого строго больше 1. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	15
Год	1952
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1