Задача 77916

Темы:    [ Пространственные многоугольники ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11 Название задачи: 77916.

Условие

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

Решение

Пусть сфера касается сторон AB, BC, CA и AD в точках K, L, M и N соответственно. Тогда AN = AK, BK = BL, CL = CM и DM = DN. Поэтому

 (1)

Рассмотрим точку N', в которой плоскость KLM пересекает прямую DA. Покажем, что

 (2)

Для этого рассмотрим проекцию на прямую, перпендикулярную плоскости KLM. Точки K, L, M и N' при этом проецируются в одну и ту же точку X. Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ – проекции точек A, B, C, D. Отношения отрезков, лежащих на одной прямой, при проекции сохраняются, поэтому

Из равенств (1) и (2) следует, что DN : AN = DN' : AN', поэтому N = N' (обе точки N и N' лежат на отрезке AD).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	13
Год	1950
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	3