Информация о задаче

Задача 77903

Тема:

[

Против большей стороны лежит больший угол

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c — длины сторон треугольника; A, B, C — величины противоположных углов. Докажите, что

Aa + Bb + Cc $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ Ab+Ba+Ac+Ca+Bc+Cb}\right.$ Ab + Ba + Ac + Ca + Bc + Cb $\displaystyle \left.\vphantom{ Ab+Ba+Ac+Ca+Bc+Cb}\right)$ .

Решение

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому (A - B)(a - b) $\ge$ 0, (B - C)(b - c) $\ge$ 0, (C - A)(c - a) $\ge$ 0. Сложив эти неравенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	13
Год	1950
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	4