Задача 77884

Темы:    [ Вписанный угол (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей, делится описанной окружностью пополам.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O_b — центр вписанной окружности, касающейся стороны AC. Достаточно доказать, что MO = MO_b. Так как AOM = BAO + ABO = (A + B)/2 и OAM = OAC + CAM = A/2 + CBM = (A + B)/2, то MA = MO. Так как треугольник OAO_b прямоугольный и AOM = MAO = , то MAO_b = MO_bA = 90^o - , а значит, MA = MO_b.