Информация о задаче

Задача 76474

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
Темы:	[	Свойства разверток	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На бесконечном конусе, угол развёртки которого равен $\alpha$ , взята точка. Из это точки в обе стороны проводится линия так, что после развёртки она превращается в отрезки прямых. Определить число её самопересечений.

Решение

Ответ: число самопересечений равно n, где n — наибольшее натуральное число, для которого n $\alpha$ < 180^o. Рассмотрим на плоскости точки S и A, соответствующие вершине конуса и взятой точке при развёртке конуса на эту плоскость. Восставим из точки A перпендикуляр к прямой SA и возьмём на этом перпендикуляре по одну сторону от прямой SA точки B₁, ..., B_n так, что $\angle$ ASB_k = k ${\frac{\alpha}{2}}$ Аналогично по другую сторону от прямой SA возьмём точки C₁, ..., C_n так, что $\angle$ ASC_k = k ${\frac{\alpha}{2}}$ . На конусе точка B_k совпадает с точкой C_k; других точек самопересечения проведённой линии нет.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	6
Год	1940
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	1