Условие
Построить окружность, равноудалённую от четырёх точек плоскости. Сколько
решений имеет задача?
Решение
Ответ: 7 решений (в невырожденном случае).
Пусть
A,
B,
C,
D — данные точки,
S — искомая окружность. По одну
сторону от
S лежит
k данных точек, по другую сторону лежит 4 -
k данных
точек. Мы будем предполагать, что данные точки не лежат на одной окружности
(иначе в качестве
S можно взять любую окружность с тем же центром; получается
бесконечно много решений). Таким образом,
1
k3. Мы получаем два
существенно различных расположения точек по отношению к
S: 2 + 2 и 1 + 3.
Пусть сначала точки
A и
B лежат по одну сторону от окружности
S, а
точки
C и
D — по другую. Центром окружности
S является точка
O
пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам
AB и
CD. Радиус
окружности
S равен среднему арифметическому длин отрезков
OA и
OC.
Четыре точки можно разбить на пары тремя способами, поэтому мы получаем 3
решения.
Пусть теперь точки
A,
B и
C лежат по одну сторону от окружности
S,
а точка
D — по другую. Проведём через точки
A,
B и
C окружность.
Пусть
O и
R — её центр и радиус. Точка
O является центром искомой
окружности, а радиус искомой окружности равен среднему арифметическому
R и
OD. Одну точку из четырёх можно выбрать четырьмя способами, поэтому мы
получаем 4 решения.
Источники и прецеденты использования
