|
|
 |
Условие
Разложить на множители: (b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³.
Решение 1
(b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³ = (b – a)((b – c)² – (b – c)(c – a) + (c – a)²) + (a – b)³ = (b – a)((b – c)² – (b – c)(c – a) + (c – a)² – (a – b)²) =
= (b – a)((b – c)(b + a – 2c) + (b + c – 2a)(c – b)) = (b – a)(b – c)(3a – 3c).
Решение 2
Положим x = a – b, y = b – c, z = c – a, при этом x + y + z = 0. Согласно задаче 61005 ж
x³ + y³ + z³ = x³ + y³ + z³ – (x + y + z)³ = – 3(x + y)(y + z)(x + z).
Решение 3
При a = b многочлен обращается в ноль, значит, по теореме Безу (см. задачу 60961) он делится на a – b. Аналогично он делится на a – c и b – c. Поскольку это – многочлен третьей степени, он равен k(a – b)(b – c)(c – a). Подставляя a = –1, b = 0, c = 1, находим, что k = 3.
Ответ
3(a – b)(b – c)(c – a).
