Задача 76456

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Четность и нечетность ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.

Решение

  Из того, что не все коэффициенты произведения кратны 4, следует, что у одного многочлена есть нечётный коэффициент.
  Предположим, что у обоих многочленов есть нечётные коэффициенты. Заменим все коэффициенты обоих многочленов и их произведения на их остатки от деления на 2. В результате получим многочлены  xⁿ + ... + x^r  и  x^m + ... + x^s  и произведение вида  x^n+m + ... + x^r+s.  Значит, в исходном произведении коэффициент при x^r+s нечётен, что противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	5
Год	1939
вариант
Тур	2
задача
Номер	2