ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73769
Темы:    [ Разные задачи на разрезания ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вычисление площадей ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

Решение

Обозначим через M0 исходный квадрат, M1 , M2 , M3 , ... – многоугольники, получаемые из M0 последовательным отрезанием уголков. Удобно рассмотреть также многоугольник Nk , вершинами которого служат середины сторон Mk ( k=0, 1, 2, ... )

Пусть A – произвольная вершина многоугольника Mk – а B и C – соседние с ней вершины. Чтобы получить из многоугольника Mk многоугольник Mk+1 , нужно от каждой вершины A многоугольника Mk отрезать треугольник B2 AC2 (см.рис.8) такой, что точки B2 и 2 делит, соответственно, отрезки [AB] и [AC] в отношении 1:2 . Пусть B1 и C1 – середины отрезков [AB] и [AC] , т.е. соседние вершины многоугольника Nk ; тогда

При переходе от многоугольника Nk к многоугольнику Nk+1 точки B1 и C1 остаются его вершинами, по уже не соседними: между ними появляется новая вершина A1 – середина отрезка [B2 C2] . Таким образом, многоугольник Nk+1 получается из многоугольника Nk добавлением к каждой его стороне [B1 C1] треугольника типа B1 A1 C1 .

Из(eq:234.1) следует, что площади отрезаемых и добавляемых треугольников связаны такими соотношениями:

Пусть xk – площадь многоугольника Nk , yk – площадь Mk . Просуммировав(eq:234.2) и(eq:234.3) по всем вершинам A многоугольника Mk , получим:

отсюда

и

Отметим точки x0 , x1 , x2 , ... и y0 , y1 , y2 , ... на числовой оси (рис.9 и10). Из соотношения(eq:234.6) следует, что длина отрезка [xk+1,yk+1] в 4 раза меньше длины отрезка [xk,yk] . Рассмотрим точку a , делящую отрезок [xk,yk] в отношении 3:4 ; тогда

Учитывая(eq:234.7) и(eq:234.8), получим, что

значит, точка a делит и том же отношении 3:4 и отрезок

[xk+1,yk+1].


Возьмем самый первый отрезок нашей последовательности: [x0,y0]=[ ,1] ; в отношении 3:4 его делит точка a , такая, что = , т.е.

В силу сказанного, эта точка делит в отношении 3:4 все отрезки [xk,yk] ( k=0, 1, 2, ... ); значит, каждый следующий отрезок последовательности [xk,yk] получается из предыдущего сжатием к точке a в 4 раза. Таким образом, точка a является единственной общей точкой всех этих отрезков. (Можно выписать и точные формулы для xk и yk : xk= -()k , yk=+ ()k ; но нам они понадобятся. Читатели, знакомые с понятием предела последовательности, конечно, заметили, что a является общим пределом последовательностей xk и yk ; по существу мы именно это и доказали.) Отсюда уже следует, что площадь искомой фигуры M (являющейся пересечением всех многоугольников Mk ) равна a ; действительно, M содержится в любом Mk и содержит любой Nk (докажите (Это чисто теоретико-множественный факт: если Mk Mk+1 Nk+1 Nk для каждого k=0 , 1 , 2 , ... , и M=k Mk , то M Nk .) !); следовательно, площадь M должна быть заключена между xk и yk (при всех k ), а этому требованию удовлетворяет единственное число: a= .

Можно было бы решать эту задачу и не вводя многоугольников Nk , используя лишь соотношение, определяющее последовательность y0=1 , y1= , y2 , y3 , ... :

yk-yk+1= (yk-yk-1).

При этом площадь M находится как предел площадей Mk (последовательность (yk-yk+1) представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию).

А.Зеленский (г.Шахтерск) обобщил задачу M234 на тот случай, когда от каждой стороны отсекаются отрезки, составляющие этой стороны, где p – любое число, большее 2 . Площадь получающейся в таком случае фигуры равна ; при p=3 получаем ответ .

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1973
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М234

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .