Задача 73669

Темы:    [ Основные свойства центра масс ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема о группировке масс ] [ ГМТ с ненулевой площадью ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Л.Г.Макаров

Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах АВ, ВС и АС данного треугольника АВС?

Решение

Нам будет удобно рассматривать не только полноценные треугольники, но и вырожденные треугольники тоже. Докажем сначала, что любая точка синего шестиугольника является центром тяжести вписанного треугольника (см.рис.). Для этого нам понадобится такая
Лемма. Если точка O₁ является центром тяжести вписанного треугольника K₁ L₁ M₁ , а точка O₂  — центром тяжести вписанного треугольника K₂ L₂ M₂ , то для любой точки отрезка [O₁,O₂] можно указать вписанный треугольник, для которого она является центром тяжести.
Доказательство. Нам будет удобно пользоваться механической интерпретацией понятия центра тяжести. Пусть точка O₃ принадлежит отрезку [O₁,O₂] . Тогда можно положить такие грузики p₁ и p₂ в точки O₁ и O₂ , что она является их центром тяжести. Поместим теперь грузики в вершины треугольника K₁ L₁ M₁ , а грузики  — в вершины треугольника K₂ L₂ M₂ (рис. 11). Центр тяжести этих шести грузиков совпадает с точкой O₃ ). С другой стороны, он является центром тяжести трех грузиков , помещенных в вершины треугольника K₃ L₃ M₃ , полученного следующим образом. Точки K₃ , L₃ и M₃  — это центры тяжестей пар грузиков , , помещенных в точки K₁ , K₂ ; L₁ , L₂ и M₁ , M₂ соответственно. Таким образом, исходя из треугольников K₁ L₁ M₁ и K₂ L₂ M₂ и произвольной точки O₃ отрезка [O₁,O₂] , мы построили треугольник K₃ L₃ M₃ , центром тяжести которого она является. Лемма доказана.
Теперь легко доказать, что любая точка синего шестиугольника является центром тяжести некоторого вписанного треугольника. Действительно, достаточно доказать это для его вершин, а затем воспользоваться леммой — с ее помощью мы от вершин сможем перейти к границе, а потом и к любой внутренней точке. Но для вершин такие треугольники стройки без труда: это треугольники, у которых вершины лежат в вершинах основного треугольника и две вершины слились в одну.
Остается доказать, что точки, лежащие внутри треугольников AB₁ C₁ , A₁ B C₂ , A₂ B₂ C , не могут быть центрами тяжести вписанных треугольников. Действительно, пусть для некоторой точки O треугольника A B₁ C₁ нашелся треугольник KLM , для которого она является центром тяжести (рис. 12). Но тогда она делит отрезок KN в отношении 1:2 , что невозможно.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М134