Условие
Биссектриса
AD, медиана
BM и высота
CH остроугольного треугольника
ABC пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла
BAC больше 45°.
Решение
Нетрудно доказать, что для данного
BAC=α<
существует
ровно один (с точностью до подобия) треугольник
ABC , в котором высота
CH ,
биссектриса
AD и медиана
BM пересекаются в одной точке. Действительно,
отложив на одной стороне угла
A=α (произвольный) отрезок
AC ,
опустив на другую сторону угла перпендикуляр
CH и обозначив его точку
пересечения с биссектрисой угла
A через
O , мы найдем точку
B пересечения
второй стороны угла и прямой
OM (где
M — середина отрезка
AC ) и тем
самым построим нужный треугольник
ABC , — очевидно, что при заданных
A и
AC он определяется единственным образом. Заметим, что при
этом угол
B острый (поскольку точка
H — основание высоты — лежит на
стороне
AB ).
Докажем, что если
A< 
, то
ACB> .
Отложим на прямой
AB отрезок
HB1=AH . Тогда биссектриса
B1 F угла
B1
равнобедренного треугольника
AB1 C пройдет через точку
O . Поскольку
=
>1
, то точка
M лежит между
A и
F ,
поэтому
B1 лежит между
A и
B и
BCA> B1 CA> .
В этой задаче можно получить и более точный результат: найти точную
оценку снизу для угла
α при условии, что
AB=γ< .
Для этого выразим
γ как функцию от
α . Проведем
HE | BM
(
E — точка на
AC ). Тогда (рис. 7)
Отсюда ясно, что функция
γ=γ(
α)
на отрезке
0
<α<
монотонно убывает (чем больше
α , тем больше
sin α
и тем меньше
cos α , а поэтому меньше и вся дробь, стоящая под знаком
арктангенса). Найдем теперь
α , для которого
γ(
α)
= .
Это уравнение сводится к такому:
0
<α< ,
sin2 α
(1
- cos α)
= cos3 α , откуда
cos α=
.
Итак, если
γ< , то
α>α0=arccos
(
α0> , поскольку
<
; как можно убедиться по таблицам, величина угла,
соответствующего
α0 , в градусах составляет примерно
51
o50
' ).
Источники и прецеденты использования
