ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73538
Темы:    [ Раскраски ]
[ Целочисленные решетки ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Шестиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

   а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе n цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

   б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе n цветов возможно аналогичное построение?

   Примечание. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками (квадратами или шестиугольниками), при котором сетка, соответствующая какому-то одному цвету, имеет такие же размеры и направления сторон квадратов (или треугольников), как и сетка, соответствующая любому другому цвету (то есть все сетки должны получаться друг из друга параллельным сдвигом).


Решение

  Мы рассмотрим оба случая сразу.
  Примем за единицу длины расстояние между центрами двух соседних фигурок (квадратов или шестиугольников).
  Начертим сетку, проходящую через центры фигурок одного цвета, скажем, красного. В случае шестиугольников мы проведём линии только двух направлений, так что сетка будет состоять не из правильных треугольников, а из ромбов (рис. 3).


  Пусть ABCD – один квадрат (ромб) сетки. Выведем формулу для его площади. В случае квадрата  SABCD = k² + l², где k и l – расстояния между соседними фигурками по горизонтали и вертикали.
  В случае ромба проведём через точки A и B прямые, перпендикулярные сторонам шестиугольников, и точку их пересечения обозначим M (причём проведём эти прямые так, чтобы угол AMB равнялся 120°, а не 60°). Длины  AM = k  и  BM = l  – целые (на рис. 3  k = 1,  l = 2).  Тогда
AB² = k² + kl + l²,  а площадь ромба равна   (k² + kl + l²).
  Число цветов, участвующих в раскраске, равно отношению площади ABCD к площади одной окрашенной фигурки, а именно:
в случае квадратов  k² + l²,  в случае шестиугольников  k² + kl + l².
  Это сразу следует из следующей леммы.

  Лемма. Часть ABCD, закрашенная каждым цветом, участвующим в раскраске, либо представляет собой одну фигурку, либо состоит из кусочков (для красного цвета – четырёх, для других цветов – двух), из которых можно сложить такую же фигурку.
 Доказательство леммы несложно.

  Теперь пусть нам дано число  m = k² + l²  или  n = k² + kl + l².  Покажем, что плоскость можно заполнить в соответствии с условием квадратами m цветов или шестиугольниками n цветов.
  Заполним плоскость фигурками и начнём их раскрашивать следующим образом. Закрасим одну из них красным. Отсчитаем от неё k фигурок в одну сторону, потом повернем на 90° для квадратов и на 60° для шестиугольников, отсчитаем l фигурок в новом направлении и ту фигурку, в которую мы придём, тоже закрасим красным. На отрезке, соединяющем центры двух красных фигурок, как на стороне построим квадрат (а) или правильный треугольник (б). Пристраивая к нему равные квадраты (правильные треугольники), мы получим центры всех фигурок, которые надо закрасить красным; сдвигая параллельно всю совокупность красных фигурок, мы будем получать каждый раз новую совокупность незакрашенных фигурок и закрашивать её новым цветом, пока не закрасим всю плоскость.
  По доказанному выше число цветов будет равно  k² + l²  в случае а) и  k² + kl + l²  в случае б).


Ответ

а)  При  n = k² + l²,   б)  при  n = k² + kl + l²,  где k, l – целые неотрицательные числа (но не равные нулю одновременно).

Замечания

Более подробное обсуждение этой задачи см. в решениях Задачника "Кванта" (1970, №7 и №8).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .