Условие
Кощею достались шесть сундуков с золотыми монетами. Всего монет 300, и Кощей знает, сколько монет в каком сундуке лежит. За один ход Кощей выбирает любой набор сундуков (но не все шесть), общее количество монет в которых позволяет распределить их по выбранным сундукам поровну. Затем он уравнивает количества монет в выбранных сундуках, перекладывая монеты между ними.
Всегда ли Кощей может за несколько ходов добиться, чтобы во всех шести сундуках стало поровну монет?
Решение 1
Среди шести чисел есть два числа одной чётности. Возьмём два соответствующих сундука и уравняем количество монет в них. Среди оставшихся четырёх сундуков также есть два, где количество монет одной чётности. Уравняем количество монет и в них. Поскольку общее число монет чётно, то в двух оставшихся сундуках суммарное число монет тоже чётно. Уравняв число монет в них, получим три пары равных чисел. Если взять по одному сундуку из каждой пары, то в них в сумме будет 150 монет. Уравняем количество монет в этих сундуках, а затем и в трёх оставшихся.
Решение 2
Можно было рассуждать иначе, начав с делимости на 3. Легко убедиться, что сумма трёх чисел делится на 3, если и только если их остатки при делении на 3 либо все разные, либо все одинаковые. Так как сундуков шесть, а остатков всего три, обязательно найдутся три сундука, суммарное число монет в которых кратно 3.
Уравняем количество монет в найденной тройке и в трёх оставшихся сундуках (общее количество монет в них также будет кратно 3, поскольку число монет во всех сундуках кратно 3). После этого разобьём сундуки на пары: один из первой тройки и один из второй. Суммарное число монет в каждой паре одинаково, а значит, равно 300 : 3 = 100, то есть каждую пару Кощей сможет уравнять, и во всех
шести сундуках станет по 50 монет.
Ответ
Всегда.
Замечания
Отметим, что в приведённых решениях не используется
уравнивание монет в четырёх или пяти сундуках. Заметим также, что
аналогичным образом можно решить задачу, где у Кощея вместо шести
имеется любое другое составное число сундуков (лишь бы суммарное
количество монет делилось на количество сундуков).
Источники и прецеденты использования
