Условие
Дан треугольник $ABC$. Прямая $m_1$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно, а прямая $m_2$ пересекает прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_2, B_2, C_2$, при этом $A_1$ и $A_2$ симметричны относительно середины $BC$, $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно середины $CA$, $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно середины $AB$. Докажите, что $m_1\perp m_2$ тогда и только тогда, когда $m_1$ и $m_2$ являются для треугольника $ABC$
прямыми Симсона (для некоторых точек окружности $ABC$).
Решение 1
Прямые $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ порождают линейное семейство треугольников $A_tB_tC_t$, где $A_t$, $B_t$, $C_t$ – точки, делящие отрезки $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ в одном отношении. Это семейство содержит серединный треугольник $A_0B_0C_0$ и два вырожденных треугольника $ A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$.
Если в таком семействе найдутся два ортологичных треугольника, то и любые два треугольника семейства будут ортологичны. Поэтому из перпендикулярности прямых $m_1$ и $m_2$ следует, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_0B_0C_0$ ортологичны, т.е. перпендикуляры из точек $A_1$, $B_1$, $C_1$ к соответствующим сторонам треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке $P$. Тогда $P$ лежит на описанной окружности треугольника, а прямая $m_1$ является ее прямой Симсона. Соответственно $m_2$ будет прямой Симсона противоположной точки окружности. Обратно, если $m_1$, $m_2$ – прямые Симсона, то семейство $A_tB_tC_t$ состоит из педальных треугольников точки $P_t$, линейно движущейся по прямой. Поскольку это семейство содержит серединный треугольник, эта прямая проходит через центр $O$ описанной окружности, а значит, $m_1$ и $m_2$ перпендикулярны.
Решение 2
Обозначим через $m_2'$ образ прямой $m_2$ при гомотетии с центром в центроиде треугольника $ABC$ и коэффициентом $-1/2$. Заметим, что при такой гомотетии точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ перейдут в середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Следовательно, прямая $m_2'$ является
прямой Гаусса четырехугольника, образованного треугольником $ABC$ и прямой $m_1$. Известно, что прямая Гаусса перпендикулярна прямой Симсона
точки Микеля этого четырехугольника, то есть параллельна прямой $m_1$. Это возможно только в том случае, если $m_1$ совпадает с прямой Симсона точки Микеля. Учитывая, что точка Микеля лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, мы получаем требуемое.
Замечания
Условию задачи удовлетворяют прямые Симсона двух любых диаметрально противоположных точек.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.3 |
