Задача 67481
|
|
 |
Условие
В ряд записаны $5$ натуральных чисел. Каждое из них, кроме первого, — наименьшее натуральное число, на которое не делится предыдущее. Могут ли все пять чисел быть различными?Решение 1
Пусть $n$ — первое число в строке. Если $n$ делится на какие-то степени (с натуральными показателями) различных простых чисел, то оно делится и на произведение этих степеней. Поэтому наименьшее число, на которое не делится $n$, — степень (возможно, первая) какого-то простого числа $p$. Если $p = 2$, то третье число в строке равно $3$, четвёртое равно $2$, а пятое снова $3$. Если же $p$ нечётно, то третье число равно $2$, четвёртое $3$ и пятое снова $2$. В любом случае пятое число равно третьему.Решение 2
Пусть записаны числа $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$. Рассмотрим три случая.1) $a_2$ нечётно. Тогда $a_3 = 2$, $a_4 = 3$, $a_5 = 2$.
2) $a_2$ чётно, но не кратно $3$. Тогда $a_3 = 3$, $a_4 = 2$, $a_5 = 3$.
3) $a_2 = 2^k3^lm$, где $k, l > 0$, $m$ не кратно ни $2$, ни $3$. Тогда $a_1$ делится на $2^k$, $3^l$ и $m$, но не делится на $a_2$. Противоречие.
