Условие
В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 чёрных камней, а потом 50 белых?
Решение 1
Назовём
кластером максимальную группу подряд лежащих камней одного цвета.
В начале все кластеры нечётны: имеют длину 1. Заметим, что если в какой-то момент все кластеры нечётны, то после применения операции все будут нечётны: три нечётных кластера «склеиваются» в один. Поэтому никогда не появятся два чётных кластера.
Решение 2
Заметим, что 50-й камень – белый, а 51-й – чёрный. Оба их надо перекрасить. Один из этих двух камней перекрасится первым, после чего они станут одноцветными и далее уже всегда будут одноцветными (так как каждой операцией перекрашивается какой-то кластер целиком). Значит, сделать их чёрным и белым, как требуется, мы не сможем.
Ответ
Нельзя.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
2 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
