Задача 67430
|
|
 |
Условие
Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m!! = n!$. (Двойной факториал $m!!$ – это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $m$ и имеющих ту же чётность, что $m$. Например, 5!! = 15, 6!! = 48).Решение
Пусть $m!! = n!$. Заметим, что $n!$ чётно при $n > 1$. Поэтому при нечётных $m$ > 1 решений нет. Ясно, что $m = n$ = 1 является решением.Пусть $m = 2k$, где $k$ натуральное. Тогда $n! = m!! = k!2^k$. Отсюда $(k + 1) \cdot \dots \cdot n = 2k$. Одно из чисел $k$ + 1, $k$ + 2 нечётно. Так как оно больше единицы, оно не является делителем для 2$k$. Значит, единственно возможный случай – это $2^k = k$ + 1. Но $2^k > k$ + 1 при $k$ ≥ 2 (так как 2² > 3, а при дальнейшем увеличении $k$ правая часть неравенства всегда увеличивается на 1, а левая – больше, чем на 1). Значит, в нашем случае $k$ = 1, $m$ = 2. Очевидно, $m = n$ = 2 является решением.
