Задача 67387

Тема:    [ Взвешивания ]

Сложность: 4 Классы: 6,7,8,9

Условие

Автор: Казицына Т.В.

У Пети было 18 одинаковых по внешнему виду монет – две по 1 г, две по 2 г, две по 3 г, ..., две по 9 г. Он разложил их на подносе по кругу, как показано на рисунке. Потом поднос как-то повернули, и теперь непонятно, где какая монета. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь это определить?

Решение

Проведём линию через центр круга (см. рис.).

Монеты ниже линии все разные, сумма их масс 45. Чёрные монеты ниже линии — либо 1, 4 и 7 (первый случай), либо 2, 5, 8 (второй случай), либо 3, 6, 9 (третий случай). Чёрные монеты выше линии – такие же, как и ниже. Положим серые монеты на одну чашу весов, чёрные на другую, и сравним их массы:

Случаи	Сумма чёрных	Сумма серых	Весы покажут
Первый	$2 \cdot (1 + 4 + 7) = 24$	$45 - 1 - 4 - 7 = 33$	Перевес серых
Второй	$2 \cdot (2 + 5 + 8) = 30$	$45 - 2 - 5 - 8 = 30$	Равновесие
Третий	$2 \cdot (3 + 6 + 9) = 36$	$45 - 3 - 6 - 9 = 27$	Перевес чёрных

Итак, теперь мы знаем веса чёрных монет (но не умеем пока их различать). Более того, мы точно знаем, где лежат монеты в 3, 6 и 9 г — либо это чёрные монеты, либо их соседи справа, либо их соседи слева — зависит от того, какой случай получился в первом взвешивании. Посмотрим на эти шесть монет (пусть они, например, чёрные).

Сравним $A+C$ и $B+D$. Возможны три случая:

Случаи	$A+C$	$B+D$	Весы покажут
$A=3$	$3+9$	$6+6$	Равновесие
$A=6$	$6+3$	$9+9$	$A+C < B+D$
$A=9$	$9+6$	$3+3$	$A+C > B+D$

Теперь мы знаем вес монеты $A$, а тогда и всех остальных тоже.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2025
класс
Класс	6
задача
Номер	6