Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр; $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности с $BC$, $CA$, $AB$ соответственно; $E_A$, $E_B$, $E_C$ – середины $AH$, $BH$, $CH$ соответственно; окружность с центром $E_A$, проходящая через $A$, повторно пересекает биссектрису угла $A$ в точке $A_2$; точки $B_2$, $C_2$ определены аналогично. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
Решение
Точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ являются проекциями ортоцентра на биссектрисы и, значит, лежат на окружности с диаметром $HI$, где $I$ – центр вписанной окружности. Поэтому, например, $\angle A_2C_2B_2=\angle A_2IB_2=(\angle A+\angle B)/2=\angle A_1C_1B_1$. Равенство остальных углов треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ доказывается аналогично.
Замечания
Утверждение задачи останется верным, если заменить ортоцентр любой другой точкой плоскости.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2024 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.1 |
