Условие
Даны окружность $\omega$ и точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $C$ – произвольная точка на одной из дуг $AB$ этой окружности, $CL$ – биссектриса треугольника $ABC$, окружность $BCL$ пересекает $AC$ в $E$, а $CL$ пересекает $BE$ в $F$. Найдите геометрическое место центров окружностей $AFC$.
Решение
Пусть $O$ – центр окружности $ACF$. Тогда $\angle AOF=2\angle ACF=\angle ACB$ не зависит от точки $C$. Поэтому все треугольники $AOF$ подобны друг другу и точка $O$ является образом $F$ при поворотной гомотетии с центром $A$. Кроме того, $\angle ABF=\angle LBE=\angle LCE$ не зависит от $C$, значит точка $F$ движется по прямой. Следовательно, все точки $O$ также лежат на одной прямой. Эта прямая образует с прямой $BE$ угол, равный $OAF=(\pi-\angle ACB)/2=\pi/2-\angle ABE$, поэтому она перпендикулярна прямой, симметричной $AB$ относительно $BE$.
Когда точка $C$ стремится к $B$, точка $O$ стремится к середине дуги $ACB$, а когда $C$ стремится к $A$, точка $F$ приближается к касательной к окружности $ABC$ в точке $A$. Поэтому искомое ГМТ – указанный в ответе отрезок.
Ответ
Отрезок с концом в середине дуги $ACB$, образующий с прямой $AB$ угол, равный $\pi/2-\angle ACB$.
Источники и прецеденты использования
