Задача 67268
|
|
 |
Условие
Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?Решение
Упорядочим числа каждого цвета по возрастанию. А красные числа ещё и разобьём на две части: первые 25 назовём малыми, а следующие 25 – большими. Докажем, что можно взять в качестве k-й четверки k-е жёлтое и k-е зелёное числа и из красных k-е малое и k-е большое.
Действительно, k-е жёлтое число больше одного красного числа из своей тройки и из всех троек с меньшими жёлтыми числами, то есть больше хотя бы k красных чисел. Значит, оно больше k-го малого красного числа. С другой стороны, k-е жёлтое число меньше одного красного числа из своей тройки и из всех троек с большими жёлтыми числами, то есть меньше хотя бы 25 – (k – 1) красных чисел. Значит, оно меньше k-го большого красного числа. Те же рассуждения справедливы для k-го зелёного числа.
