|
|
 |
Условие
Из 100 членов Совета Двух Племён часть — эльфы, остальные — гномы. Каждый написал два числа: количество эльфов в Совете и количество гномов в Совете. При этом своих соплеменников каждый посчитал верно, а при подсчёте иноплеменников ошибся ровно на 2. В написанных числах одна цифра встретилась не менее 222 раз. Сколько эльфов и сколько гномов могло быть в Совете? Если вариантов несколько — укажите один из них.Решение
От участников требовалось найти лишь один пример. Покажем, как найти их все.Пусть по крайней мере 222 раза написана цифра 𝐴. Кто-то написал 𝐴 хотя бы три раза (иначе цифр 𝐴 в ответах будет не больше, чем 100·2 < 222). Назовём этого члена Совета Васей. Васины числа в сумме дают либо 102, либо 98. Несложно убедиться, что случаи, когда одно из этих чисел — 100 или 101, не подходят. Значит, можно считать оба написанных Васей числа двузначными (если одно из них однозначное, напишем на месте десятков ноль). Итак, одно из Васиных чисел — это 𝐴𝐴. Если второе начинается на цифру 𝐴, то их сумма либо не больше 44+49 < 98, либо не меньше 55+50 > 102. Значит, Вася написал 𝐴𝐴 и 𝐵𝐴. Поскольку сумма этих чисел оканчивается на 2 или на 8, то 𝐴 может быть равна 1, 6, 4 или 9. Возможны следующие 4 случая:
- Если 𝐴𝐴 = 11, то 𝐵𝐴 = 102 − 11 = 91;
- Если 𝐴𝐴 = 66, то 𝐵𝐴 = 102 − 66 = 36;
- Если 𝐴𝐴 = 44, то 𝐵𝐴 = 98 − 44 = 54;
- Если 𝐴𝐴 = 99, то 𝐵𝐴 = 98 − 99 < 0 — не подходит.
При 𝐴𝐴 = 11, 𝐵𝐴 = 91 на самом деле гномов и эльфов (в каком-то порядке) либо 11 и 89, либо 9 и 91. В первом случае 1 названа не более, чем трижды каждым из 11 человек и максимум по разу каждым из 89, то есть всего менее 200 раз. Во втором случае 1 может быть названа трижды каждым из 91 человека и ни разу каждым из 9, то есть всего максимум 91·3 = 273 раза. Этот случай подходит и он даёт два варианта: 9 эльфов и 91 гном, 9 гномов и 91 эльф.
Аналогичные рассуждения показывают, что в случае 2 в совете могло быть 66 эльфов,
34 гнома (или наоборот — 66 гномов, 34 эльфа), а случай 3 не подходит
Ответ
Возможные варианты:— 66 эльфов, 34 гнома (или наоборот — 66 гномов, 34 эльфа);
— 9 эльфов, 91 гном (или наоборот — 9 гномов, 91 эльф).
