Задача 67118

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

Решение

Отрезки $BA_1$, $BC_1$ равны полупериметрам треугольников $ABH$, $BCH$ соответственно. Так как эти треугольники подобны, то $BA_1:BC_1=BA:BC$, откуда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1