|
|
 |
Условие
На плоскости даны десять точек таких, что любые четыре лежат на контуре некоторого квадрата. Верно ли, что все десять лежат на контуре некоторого квадрата?Решение
Докажем, что вершины любого вписанного четырехугольника лежат на контуре некоторого квадрата. В вписанном четырехугольнике $ABCD$ найдутся два соседних неострых угла, пусть это углы $A$ и $B$. Тогда проекции $X$, $Y$ точек $C$, $D$ соответственно на прямую $AB$ лежат вне отрезка $AB$. Пусть $CX\leq DY$, тогда вершины четырехугольника лежат на контуре прямоугольника $XYDZ$, где $Z$ – проекция $D$ на прямую $CX$ (см. рис.). Теперь, если $DY > DZ$, то продлим до нужной длины отрезки $XY$ и $ZD$ за точки $Y$ и $D$ соответственно, а, если $DY < DZ$, то продлим отрезки $YD$ и $XZ$ за точки $D$ и $Z$.
Рассмотрим теперь вписанный десятиугольник. Его вершины не могут лежать на контуре квадрата, так как любой такой контур имеет с окружностью не больше восьми общих точек. При этом, как показано выше, любые четыре вершины лежат на контуре некоторого квадрата.
