ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67025
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Четность и нечетность ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми – тоже узел этой сетки?

Решение

Лемма. Среди любых пяти узлов сетки из правильных треугольников найдутся два, середина отрезка между которыми – тоже узел сетки.

Доказательство леммы. Введём начало отсчёта в одном из узлов сетки и обозначим за $\vec{a}$ и $\vec{b}$ радиус-векторы к двум ближайшим узлам, как на рисунке. Тогда узлы сетки суть точки вида $m\vec{a}+ n\vec{b}$ для целых $m$ и $n$. По принципу Дирихле из пяти точек найдутся две точки $m_1\vec{a}+ n_1\vec{b}$ и $m_2\vec{a}+ n_2\vec{b}$, у которых одновременно совпадает чётность $m_1$ и $m_2$ и чётность $n_1$ и $n_2$. Середина отрезка, соединяющего эти две точки, есть точка $\frac{m_1+m_2}2\mkern2mu \vec{a}+ \frac{n_1+n_2}2 \mkern2mu\vec{b}$. Она является узлом сетки, так как числа $\frac{m_1+m_2}2$ и $\frac{n_1+n_2}2$ являются целыми в силу одинаковой чётности $m_1$ и $m_2$, $n_1$ и $n_2$.

Решение. На рисунке слева можно увидеть пример расположения 8 узлов сетки, среди которых нет двух, середина отрезка между которыми – узел сетки. Докажем, что девяти узлов достаточно. Заметим, что шестиугольная сетка разбивается в объединение двух треугольных (см. рисунок справа). По принципу Дирихле среди любых девяти узлов по крайней мере пять окажутся в одной из этих двух треугольных сеток. По лемме среди этих пяти узлов найдутся два искомых.


Ответ

9.

Замечания

Треугольная сетка из леммы является сеткой из равных параллелограммов, если стереть «лишние» линии. А утверждение про квадратную сетку из условия задачи также справедливо для любой сетки из равных параллелограммов. Таким образом, в условии задачи присутствовала в каком-то смысле подсказка.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .