Условие
Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.
Решение
По свойству касательной к описанной окружности имеем $\angle BAK = \angle ACK$. Следовательно, треугольники $BAK$ и $ACK$ подобны по двум углам. Поскольку $KM$ и $KN$ – соответствующие медианы в этих подобных треугольниках, имеем $\angle AKM = \angle CKN$. Наконец, поскольку $MN \parallel KC$, имеем $\angle CKN = \angle MNK$. Итак, $\angle AKM = \angle MNK$, и по свойству касательной к описанной окружности получаем, что описанная
окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$, что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
