Условие
Назовем расстоянием между треугольниками $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$ наименьшее из расстояний $A_iB_j$. Можно ли так расположить на плоскости пять треугольников, чтобы расстояние между любыми двумя из них равнялось сумме радиусов их описанных окружностей?
Решение
Назовем
облаком треугольника объединение трех кругов с центрами в его вершинах и радиусами, равными радиусу описанной окружности. Расстояние между двумя треугольниками равно сумме радиусов их описанных окружностей тогда и только тогда, когда соответствующие облака касаются. Но пять облаков не могут попарно касаться в силу непланарности графа $K_5$.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
