Задача 66961
|
|
 |
Условие
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ совпадают соответственно с центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ADC$. Известно, что $AB=1$. Найдите длины остальных сторон и углы четырехугольника.Решение
Так как центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$ лежат на серединном перпендикуляре к $AC$, эти треугольники равнобедренные. Кроме того, поскольку центры описанных окружностей лежат вне этих треугольников, углы $B$ и $D$ тупые. Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $\angle AOC=360^{\circ}-2\angle B$. С другой стороны, так как $O$ – центр вписанной окружности треугольника $ADC$, то $\angle AOC=90^{\circ}+\angle D/2$. Аналогично получаем, что $360^{\circ}-2\angle D=90^\circ+\angle B/2$, откуда $\angle B=\angle D=108^{\circ}$ и $ABCD$ – ромб.
