|
|
 |
Условие
Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.Решение
Пусть описанная окружность $k$ пятиугольника $APBCQ$ вторично пересекает прямую $AM$ в точке $N$. Из условия получаем, что треугольники $AMB$ и $CMA$ подобны. Так как $\angle BCN=\angle BAM$, $\angle CBN=\angle CAM$, треугольник $CNB$ также подобен им. Следовательно, $AB:AC=BM:AM=BN:NC$, т.е. четырехугольник $ABNC$ гармонический и $M$ – середина $AN$.
Докажем, что четырехугольник $APNQ$ гармонический. Пусть $PM$ вторично пересекает $k$ в точке $R$. Тогда $\angle NMR=90^{\circ}-\angle BMN$, $\angle AMQ=\angle AMC-90^{\circ}$. Поскольку $\angle BMN+\angle AMC=\angle BAC+\angle BNC=180^{\circ}$, то $\angle NMR=\angle AMQ$, вместе с равенством $AM=MN$ это означает, что точки $Q$ и $R$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AN$. Следовательно, $\smile AQ=\smile NR$ (см.рис.), а значит, $\angle MPN=\angle NPR=\angle APQ=\angle ANQ=\angle MNQ$. Аналогично, $\angle MQN=\angle AQP=\angle MNP$. Поэтому треугольники $APQ$, $MPN$ и $MNQ$ подобны и $APNQ$ – гармонический четырехугольник.
Чтобы закончить решение заметим, что прямая $BP$ делит отрезок $AN$ внешним образом в отношении $S_{BAP}:S_{BNP}=(AB\cdot AP):(BN\cdot PN)$. Аналогично, $CQ$ делит $AN$ внешним образом в отношении $(AC\cdot AQ):(CN\cdot QN)$. Так как четырехугольники $ABNC$ и $APNQ$ гармонические, эти отношения равны.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2021 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 15 [9-11 кл] |
