Условие
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABD$ лежит на прямой $CF$, где $F$ – проекция $D$ на $AB$.
Решение
Пусть $M$ – середина $AB$. Тогда $FM=CD/2$ (поскольку трапеция равнобедренная, точка $M$ разделит пополам и отрезок, являющийся проекцией основания $CD$ на основание $AB$). Следовательно, диагонали трапеции $CDFM$ делят друг друга в отношении $2:1$, считая от точек $C$, $D$. Значит, точка пересечения этих диагоналей совпадает с центром тяжести треугольника $ABD$.
Источники и прецеденты использования
