ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66915
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, вне треугольника взята точка $D$, так что $\angle ADC=\angle BAC$ и отрезок $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Известно, что расстояние от точки $E$ до катета $AC$ равно радиусу описанной окружности треугольника $ADE$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Решение

По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника $ADE$ равен $AE/2\sin\angle ADE$. С другой стороны, расстояние от $E$ до $AC$ равно $AE\sin\angle BAC$. Тогда из условия задачи следует, что $2\sin^2\angle A=1$, т.е. $\angle A=45^{\circ}$.


Ответ

$\angle A=\angle B=45^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2020
Заочный тур
задача
Номер 3 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .