ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66796
УсловиеВ остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.РешениеТак как $\angle OKY=\angle OAY=90^{\circ}$, точки $K$ и $A$ лежат на окружности с диаметром $OY$, т.е. $\angle OYX=\angle OAK=\angle B-\angle C$. Далее, пусть $M$ – середина $BC$. Тогда $KHMO$ – параллелограмм, т.е. у треугольников $AKX$ и $CMH$ соответствующие стороны перпендикулярны. Следовательно, эти треугольники подобны и $\frac{KX}{OK} = \frac{KX}{HM} = \frac{AK}{CM} = \frac{OM}{CM}$. Значит, прямоугольные треугольники $OKX$ и $CMO$ подобны, и $\angle OXK=\angle COM=\angle A$. Таким образом, $\angle XOY=2\angle C=\angle AOB$. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |