|
|
 |
Условие
Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 13 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.
.Решение
Мысленно расположим шкатулки по кругу, изобразив их точками, делящими окружность на 13 равных дуг длины 1, и будем выражать расстояния между шкатулками в дугах. Между любыми двумя шкатулками с одной из сторон круга находится не более 6 дуг длины 1. Тогда нам достаточно придумать шаблон – четырёхугольник с вершинами в шкатулках, – между вершинами которого реализуются все расстояния от 1 до 6. Пример такого шаблона изображён на рисунке (четырёхугольник с вершинами 1, 2, 5, 7), одна из его вершин помечена красным.
Этот шаблон всегда можно повернуть так, чтобы он "накрыл" обе шкатулки с монетами. Помощник так и делает, а открывает шкатулку перед красной вершиной шаблона. Фокусник поворачивает шаблон так, чтобы красная вершина шла сразу за шкатулкой, открытой помощником, и находит монеты.
Замечания
1. Это же решение можно изложить другими словами. Занумеруем шкатулки остатками по модулю 13. Если помощник открывает шкатулку с номером $k$, то фокусник открывает шкатулки с номерами $k + 1, k + 2, k + 5$ и $k + 7$. Поскольку любая пара шкатулок имеет вид {$n, n+1$}, {$n, n+2$}, {$n, n+3$}, {$n, n+4$}, {$n, n+5$} или {$n, n+6$}, то помощник всегда найдёт четвёрку шкатулок нужного вида, содержащую пару шкатулок с монетами.
2. Для знатоков. Мы описали конечную проективную плоскость 3-го порядка, где шкатулки выступают в роли точек, а шаблоны – в роли прямых. На этой плоскости как раз 13 точек и 13 прямых, причём на каждой прямой лежит по 4 точки.
3. 5 баллов.
4. См. также задачу 66739
