ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66691
Тема:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что $AK = AC$, $BK = LC$. Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.

Решение

Решение 1.

Поскольку в прямоугольном треугольнике $CLB$ медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы, достаточно доказать, что $М$ – середина $LB$.

Первый способ. Отметим на отрезке $AK$ точку $F$ так, что $AF = AL$. Тогда $FL \parallel KC$ и $FK = LC = KB$. Значит, $KM$ – средняя линия треугольника $LFB$, и $LM = MB$.

Второй способ. Проведём через точку $L$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с $CK$ в точке $G$. Так как треугольник $CAK$ равнобедренный, то и $CLG$ – тоже. Поэтому $LG = LC = BK$ и $LGBK$ – параллелограмм. Следовательно, $M$ – середина $LB$.

Третий способ. Поместим в точки $C$, $A$ и $B$ массы $x = AL$, $y = LC$ и $x + y$ соответственно. Тогда $L$ – центр масс точек $A$ и $C$, а $K$ – точек $A$ и $B$. Поэтому общий центр масс лежит на пересечении отрезков $BL$ и $CK$, то есть в точке $M$. Группируя точки $A$ и $С$, получим точку $L$ с массой $x + y$. Поскольку у $L$ и $B$ равные массы, то $М$ – середина $LB$.

Решение 2.

Проведём через точку $B$ прямую, параллельную $CK$, до пересечения с прямой $AC$ в точке $E$. Так как треугольник $ACK$ равнобедренный, то и $AEB$ – тоже. Поэтому $EC = BK = LC$. Таким образом, $BC$ – высота и медиана треугольника $ELB$, значит, он – равнобедренный. Подобный ему треугольник $CLM$ – тоже равнобедренный.

Решение 3. Проведём через точку $B$ прямую $l$, параллельную $AC$, и продлим $CK$ до пересечения с $l$ в точке $P$. Заметим, что треугольник $KBP$ равнобедренный: $\angle KPB =\angle ACK$ (накрест лежащие), а $\angle PKB = \angle AKB$ (вертикальные) $= \angle ACK$ (так как $AK=AC$). Но тогда $BP=BK=LC$, то есть $LCBP$ – прямоугольник. Но диагонали прямоугольника делят его на равнобедренные треугольники, так что $LMC$ – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 39
Дата 2017/18
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .