ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66632
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма нескольких положительных чисел равна единице. Докажите, что среди них найдётся число, не меньшее суммы квадратов всех чисел.

Решение

Первое решение. Пусть исходные числа равняются $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Докажем, что наибольшее из них, $A$, подходит (это достаточно естественный выбор: ведь если бы даже наибольшее число было меньше суммы квадратов всех чисел, то и все числа были бы меньше).

Для каждого $k$ выполняется неравенство $a_k^2\leqslant a_kA$. Складывая все такие неравенства, получаем $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\leqslant a_1A+a_2A+\ldots+a_nA=(a_1+a_2+\ldots+a_n)A=A, $$ где последнее равенство следует из того, что сумма всех чисел равна 1.

Второе решение. На рисунке ниже — геометрическое объяснение того же неравенства: квадраты со сторонами $a_i$ расположены внутри прямоугольника $A\times1$ (а значит, сумма площадей первых не превосходит площади последнего).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2019
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .