ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66610
Темы:    [ Признаки делимости (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если ее впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7. Например, все числа 259, 2569, 25669, 256669, ..., а также 2359, 23359, 233359, ... делятся на 7.

Решение

Первое решение.

Пусть $a$ и $b$ — числа, стоящие слева и справа от курсора соответственно, и число $b$ состоит из $n$ цифр. Тогда по условию $10^n a + b$ делится на 7. Если между числами $a$ и $b$ вставить одну цифру $x$, то получим число $10^{n+1}a+10^n x+b$. Можно подобрать эту цифру так, чтобы это число также делилось на 7, так как при $x=0,1,2,\ldots,6$ такие числа имеют различные остатки при делении на 7.

По индукции докажем, что если вставить $m$ цифр $x$, $m\geqslant 1$, то получившееся число также будет делиться на 7. База индукции ($m=1$) проверена выше. Для шага индукции достаточно доказать, что разность $$\overline{a{\underbrace{xx\ldots x}_{m+1\,\text{раз}}}b} -\overline{a{\underbrace{xx\ldots x}_{m\,\text{раз}}}b}$$ делится на 7, где $\overline{ab}$ означает число, составленное из последовательно приписанных друг к другу записей чисел (цифр) $a$ и $b$. Эта разность при некотором $k>m$ равна $$10^{k+1}a-10^k(x-a)=10^{k-m}(10^{m+1}a+10^m x-10^m a)$$ и имеет тот же остаток при делении на 7, что и число $10^{k-m}(10^{m+1}a+10^m x+b)$, а последнее делится на 7 по предположению индукции.

Второй способ.

Пусть $a$ и $b$ — те же, что и в первом способе. После вставки $m$ цифр $x$ полученное число имеет вид $$ a\cdot 10^{m+n}+\overline{\underbrace{xx\ldots x\vphantom{b}}_{m\,\text{раз}}}\cdot 10^{n}+b. $$ Подберем цифру $x$ так, чтобы при любом $m\in\mathbb{N}$ это число делилось на 7. Вычтем из него по условию делящееся на 7 число $10^{n}a+b$. Получим число \begin{align*} &10^n(10^m-1)a+\overline{\underbrace{xx\ldots x\vphantom{b}}_{m\,\text{раз}}}\cdot 10^{n}=\\ =&10^n(10^m-1)a+10^nx\cdot\frac{10^m-1}{9}=\\=&10^{n}(9a+x)\cdot \frac{10^m-1}{9}. \end{align*} Цифру $x$ можно подобрать в зависимости от остатка от деления числа $a$ на 7 так, чтобы число $2a+x$, а значит и $9a+x$, делилось на 7. Это соответствие можно указать явно с помощью следующей таблицы:

$a\pmod 7$ 0 1 2 3 4 5 6
цифра $x$ 0 или 7 5 3 1 6 4 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2019
Номер 82
класс
1
Класс 11
задача
Номер 2


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .