Условие
Решите уравнение
$$\tan\pi {}x = [\lg \pi^x]-[\lg [\pi^x]],$$
где $[a]$ обозначает наибольшее целое
число, не превосходящее $a$.
Решение
Правая часть уравнения имеет смысл при
$\pi^x\geqslant1$.
Пусть
$10^{n}\leqslant \pi^x<10^{n+1}$,
где $n$ — неотрицательное целое число.
Тогда $[\lg \pi^x]=n$.
Но поскольку также имеем
$10^{n}\leqslant [\pi^x]<10^{n+1}$,
получаем
$[\lg [\pi^x ]]=n$.
Следовательно, при
$\pi^x\geqslant1$
правая часть уравнения тождественно равна нулю. Значит, решениями будут все неотрицательные целые значения $x$.
Ответ
$x$ — любое целое неотрицательное число.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
83 |
|
Год |
2020 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
