ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66575
Темы:    [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите уравнение $$\tan\pi {}x = [\lg \pi^x]-[\lg [\pi^x]],$$ где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a$.

Решение

Правая часть уравнения имеет смысл при $\pi^x\geqslant1$. Пусть $10^{n}\leqslant \pi^x<10^{n+1}$, где $n$ — неотрицательное целое число. Тогда $[\lg \pi^x]=n$. Но поскольку также имеем $10^{n}\leqslant [\pi^x]<10^{n+1}$, получаем $[\lg [\pi^x ]]=n$. Следовательно, при $\pi^x\geqslant1$ правая часть уравнения тождественно равна нулю. Значит, решениями будут все неотрицательные целые значения $x$.

Ответ

$x$ — любое целое неотрицательное число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 83
Год 2020
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .