ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66484
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

Решение

Первое решение.

Прямая, являющаяся графиком производной $y=2ax+b$ квадратного трёхчлена, касается параболы $y=ax^2+bx+c$: если они не пересекаются, то разбивают координатную плоскость на три части, а если пересекаются в двух точках, то разбивают плоскость на пять частей.

Из условия касания графиков получаем, что дискриминант уравнения $$ ax^2+bx+c=2ax+b $$ равен нулю, т.е. $(b-2a)^2-4a(c-b)=b^2+4a^2-4ac=0$, откуда дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$ равен $$ D=b^2-4ac=-4a^2 < 0, $$ поэтому трёхчлен не имеет корней.

Второе решение.

Так же, как и в предыдущем способе, устанавливаем факт касания графиков трёхчлена и его производной. Заметим, что производная пересекает ось абсцисс (меняет знак) в точке, абсцисса которой равна абсциссе вершины параболы. Следовательно, если ветви параболы направлены вверх, то вершина параболы лежит выше оси абсцисс, а если вниз, то ниже оси абсцисс. В обоих случаях квадратный трёхчлен корней не имеет.


Ответ

Ни одного.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 81
Год 2018
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .