Задача 66467

Тема:    [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В строку выписано 39 чисел, не равных нулю. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)

Решение

Докажем, что на нечетных местах стоят отрицательные числа, а на четных – положительные. Тогда произведение всех чисел будет положительным, поскольку перемножаем 20 отрицательных и 19 положительных чисел. Пусть выписаны числа a₁, a₂, ..., a₃₉. Заметим, что если выкинуть произвольное число a_{2k + 1} с нечетным номером, то остальные разбиваются на пары соседних: {a₁, a₂}, ..., {a_{2k - 1}, a_2k}, {a_{2k + 2}, a_{2k + 3}}, ..., {a₃₈, a₃₉}. Значит, сумма всех остальных чисел положительная, но с добавлением a_{2k + 1} она становится отрицательной, т. е. a_{2k + 1} < 0. Поскольку a_2k + a_{2k + 1} > 0, то a_2k > 0. Наше утверждение доказано.

Ответ

Знак положительный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	81
Год	2018
класс
Класс	8
задача
Номер	2